ECUACIONES DIFERENCIALES POR BERNOULLI

Es un tipo de ecuación formulada por el matemático-científico Jacob Bernoulli, que se caracteriza por ser una ecuación diferencial lineal de primer orden que se resuleve mediante sustitución.

Para hacer más clara su comprensión se desarrollará un ejercicio a continuación:

 

 Donde a simple vista no se puede identificar si cumple con los parámetros de la forma ordinaria de la Ecuación de Bernoulli:

Por lo que se procede a ordenar la ecuación:

Reemplazando y' por su nomenclatura en derivadas se convierte en:

Donde se puede visualizar que la ecuación cumple con la estructura de una Ecuación de Bernoulli, que se diferencia de una ecuación Lineal de Primer Orden común por multiplicar a una potencia en el segundo miembro. El exponente de esta potencia es un dato de importancia para el siguiente paso de la resolución de este tipo de ecuaciones: la sustitución.

Donde se crea una nueva variable para sustituir en reemplazo de y y su derivada, de forma que al reemplazar en la ecuación tendremos (Se aclara por qué al reemplazar y cuadrada se obtiene u cuadrada negativa):

Como desde un comienzo la x del primer miembro no encajaba en la armonia de la ecuación en su forma ordinal, se divide esta parte en busca de su simplificación a 1:

En consiguiente se realizan el resto de simplificaciones pertinentes de forma que la ecuación quede en forma de una Ecuación Lineal de Primer Orden, donde se resuelve encontrando un Factor Integrante que permita resolver la Función Contínua p(x):

Mismo que al ser reemplazo, incluyendo el signo para facilitar la resolución, termina siendo:

Valor por el cual se deberá multiplicar toda la ecuación, de forma en que al analizar el resultado de el procedimiento podamos encontrar que en el caso particular del ejercicio que estamos resolviendo lo que se muestra es un producto de derivada:

A estas alturas ambos lados de la ecuación deben ser integrados, pero al ser un producto de derivada, esta se simplifica con la integral, mientras el segundo miembro mantiene su integral de modo que resulta en:

A su vez para finalizar el ejercicio es necesario el reemplazo de la nueva variable que creamos por sus valores originales, donde al despejar u de la sustitución original se muestra de la siguiente forma:

Que al reemplazar se vuelve:

 De forma que termina el ejercicio con una respuesta implícita donde se consigue el objetivo principal de las ecuaciones diferenciales que es obtener la variable y.